「1（一） 」とは

1（一、壱、壹、弌、いち、ひと、ひとつ）は、最小の正の整数である。0 を自然数に含めない流儀では、最小の自然数とも言える。整数の通常の順序において、0 の次で 2 の前の整数である。1 はまた、実数を位取り記数法で記述するための数字の一つでもある。

「無」を意味する 0 に対して、1 は有・存在を示す最原初的な記号なので、物事を測る基準単位、つまり数や順序を数える際の初めである。

英語では、基数詞でone、序数詞では、1st、first となる。

ラテン語では unus（ウーヌス）で、接頭辞 uni- はこれに由来する。

0 を除いて最小の自然数であり、自然数のうちで最小の奇数でもある。任意の数 x に 1 を掛けても x のままであるので、1 は乗法に関する単位元と呼ばれる。

この性質より、1 は 1 自身の階乗であり、

自乗であり、より一般の累乗でもある。

0 以外の任意の数の0乗は 1 である。

多くの場合、0の階乗や0の0乗は規約により 1 とされる。

数字としての1

西洋で今日 1 を表す数字の字形は垂直に立った棒であるが、単なる線と区別するために、しばしば上部にひげ飾りが付けられたり、下部に水平の短い線が付けられたりする。アラビア数字はインドに起源を持ち、古くは漢字の「一」のように水平の線で 1 を表していた。グプタ文字ではやや丸まった線になり、デーヴァナーガリーではときに左端に小さな黒丸が付された。これが90度回転して 9 に似た字形になり、グジャラート語やパンジャーブ語の文字で現在用いられる字形になった。ネパール語でも回転した字形を用いるが、黒丸が残っている。この黒丸が上部のひげ飾りになった一方、下部の短い水平の線はローマ数字の I からきたものと考えられる。ドイツなどのいくつかのヨーロッパの国では、1 のひげ飾りを比較的長く書くため、他国での 7 の字形に近くなって誤解を生じやすい。そのような国では、7 を書くときに垂直の線に水平の線を入れて区別する。

現代のほとんどの欧文の書体において、1 は h と同じ高さであるが、古典的な書体の中には のように x と同じ高さであるものもある。古いタイプライタには 1 のキーが無いものがあり、代わりに似た字体である小文字の l （エル）を用いた。また、体積の単位のリットルの記号は、単位名称が人名由来ではないため本来は小文字の l となるが、数字の 1 と似ていて紛らわしいことから大文字の L とすることが推奨されている。

装飾の目的のため、1 の代わりに大文字の J を用いる例も見られる。

性質

1 はちょうど1個の正の整数で割り切れる唯一の正整数である（素数はちょうど2つの正の整数で割り切れ、合成数は3個以上の整数で割り切れ、0 はすべての整数で割り切れる。）

約数の和は1。
約数の和が奇数になる最小の数である。次は2。

最小の倍積完全数である。次は6。また約数の和が自分自身になる唯一の数である(1倍完全数)。

最小の高度合成数である。奇数で唯一の高度合成数である。次は2。

1 = 2 × (2 − 1)

2 × (2 − 1) で完全数にならない最小の数である。次は120。(オンライン整数列大辞典の数列 A144858)

1 = σ(1) (ただし σ は約数関数)

N = σ(N) を満たす唯一の整数である。(ただしσは約数関数)

約数の和の平均が整数になる最小の数である。次は56。(オンライン整数列大辞典の数列 A047727)

実数、複素数における乗算の単位元である。

乗算と除算においては、1 を乗数や除数とする演算の積や商は、被乗数や被除数と同じ数になる。

累乗では、指数が 0 の場合、値は必ず 1 となる。

過去には、素数の定義として「1 と自分自身で割り切れる整数」を採用することにより、1 を素数と見なす数学者もいた。1 を素数と公言した最後の数学の専門家は、1899年のアンリ・ルベーグである。現代では、1 は素数でも合成数でもなく、−1 やガウス整数における i および −i などと同じく単数であるとされる。算術の基本定理によれば、単数の違いを違いと見なさなければ、素因数分解は一意である（例えば 2 = 2 = 1 × (−1) × 2 だが、この2つの分解は同じと見なす）。

位取り記数法の底に用いることができない。画線法は底 1 の記数法（一進法）と言われることがあるが、これは位取り記数法ではない。

関数 1 は常に 1 に等しく逆関数を持たないため、底 1 の対数は定義しない。

最小の自己同形数である。次は5。

三角数が三角数になる約数の個数をもつ最小の数である。次は28。(オンライン整数列大辞典の数列 A116541)

三角数が三角数になる約数の個数をもつ数の中で前の数を上回る個数をもつ最小の数である。次は28。(オンライン整数列大辞典の数列 A076172)

三角数の数列において、1 から a までの和の初めて n 桁となる a の値とみたとき、次は4。(オンライン整数列大辞典の数列 A068092)

n で表される最小の数である。次は4。

n で表される最小の数である。次は16。

最小のカタラン数である。次は2。

最小の高度トーティエント数である。次は2。また、奇数の中では唯一ノントーティエントではない。

1 = 2 − 1

最小のメルセンヌ数である。次は3。

1 + 1 = 2 であり、n + 1 の形で素数を生む最小の数である。次は2。

1! + 1 = 2 であり、n! + 1 の形で素数を生む最小の数である(0! の時も実際の値は同じである)。次は2。

フィボナッチ数列の最初の数かつ2番目の数でもあり、その他の多くの整数列の最初の数である。フィボナッチ数列の次の数は 2 。整数列を集めたニール・スローンの最初の本 Handbook of Integer Sequences では、1 で始まらない数列にも慣習として最初に 1 を加え、その 1 は数列を順序付ける辞書式順序の考慮外とした。改訂版の Encyclopedia of Integer Sequences およびウェブ上の後継であるオンライン整数列大辞典では、数列の最初に並んだ 0 や 1 は辞書式順序の考慮外となっている。

最小のベル数である。次は2。

交互階乗の最小の数かつ2番目の数でもあり、2番目の場合、2! − 1! = 2 − 1 である。次は5。

単位ベクトルの長さであり、単位行列の行列式である。

確率論において、確率の最大値であり、必ず起こる事象の確率である。

統計学において、相関係数は −1 から 1 の間の値を取り、1 に近いほど正の相関が強い。

自然数を定式化する方法によって、1 は異なる表現を持つ。

ペアノの公理では、1 は 0 の後者である。すなわち、1 = {0} = {Ø} である（Ø は空集合）。

プリンキピア・マテマティカでは、1 は単集合（1つの元のみを持つ集合）全ての集合と定義される。

古代エジプトでは、2/3 と 3/4 は別格として、一般の分数を、分子が 1 で分母が異なるいくつかの分数の和として表した。例えば、2/5 = 1/3 + 1/15 などである。分子が 1 の分数、あるいはそれらの和で表す形式は、単位分数またはエジプト式分数と呼ばれる。

全ての項が 1 である数列の母関数は次で与えられる。

${\displaystyle \frac{1}{1-<!--\; -\; -->x}=1+x+x^2+x^3+\cdots <!--\; \cdots \; -->}$

自然界に出現する数値や2の冪などの数学的対象の多くはベンフォードの法則に従い、1 で始まるものが最多で全体の約30 %を占める。

最小のリュカ数である。次は3。また、初項2の後者である。

1 = 1!

最小の階乗数である。次は2。

n! が n 桁となる数である。他には 22 と 23 と 24 しかない。

級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ は 1 に収束する。

約数の和が 1 になる数は1個ある (1) 。約数の和1個で表せる最小の数である。次は3。

約数の和が奇数になる最小の奇数である。次は3。

倍積完全数の約数の和としては最小の数である。次は12。

約数の和 n 個で表せる n 番目の数である。次は18。

約数の和の個数別の最小でいうと、これも最小にあたる(1個)。次は12(2個)。

連続してある数に対して約数の和を求めていった場合1個の数が 1 になる。その最小の数。次は4(2個)。いいかえると ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^m(n)=1(m\geqq <!--\; \geqq \; -->1)}$ を満たす n が1個あるということである。(ただし σ は約数関数)(オンライン整数列大辞典の数列 A241954)

九九においては、1 の段で 1 × 1 = 1（いんいちがいち）と表し方が 1 通りしかない。九九で表し方が 1 通りのしかない数は他に 25, 49, 64, 81 があり、計5つである。

各位の和が 1 となるハーシャッド数は 100 までに3個、1000 までに4個、10000 までに5個ある。

各位の和が 1 となる数は、全てハーシャッド数。そのような数は、十進法では他に 3 と 9 しかない。

最小のハーシャッド数である。次は2。

1 を基とする最小のハーシャッド数である。次は10。

n を基とする n 番目のハーシャッド数である。次は20。

各位の和（数字和）が n となる n 番目の数。次は11。

平方数がハーシャッド数になる最小の数である。次は4。

立方数がハーシャッド数になる最小の数である。次は 8。

三角数がハーシャッド数になる最小の数である。次は 3。

フィボナッチ数がハーシャッド数になる最小の数である。次は2。

各位の積が 1 になる最小の数である。次は11。(オンライン整数列大辞典の数列 A000042)

最小のカプレカ数(第1定義)。次は9。

1 の約数の個数は1個になり 1 の1倍になる。1～n までの約数の個数が n の整数倍になる最小の数である。次は4(2倍)。(オンライン整数列大辞典の数列 A050226)